• اضطراب ریاضی و عدم احساس ایمنی در کلاس.

کلامر^۱ (۱۹۹۸) به نقل از کاتلوای، (۲۰۰۵)، منابع اشتباهات مفهومی را به سه دسته تقسیم نمود:

• • تجربیات: به عنوان مثال دانش ­آموزان مشاهده می‌کنند که یک سنگ نسبت به یک پَر، زمان ‌کوتاه‌تری برای سقوط آزاد طی می‌کند. اما همین دو جسم در خلا زمان­های برابری برای طی یک ارتفاع مشخص سپری ‌می‌کنند. در اینجا نتیجه­ آزمایش و تجربه های محیطی، متناقض هستند وباعث ایجاد اشتباهات مفهومی می‌شوند.

۱ Klammer

• • زبان: بسیاری از تشبیه‌ها یا استعاره‌ها در زبان ریشه دوانیده­اند. اگر چه استعاره­ها به دانش ­آموزان برای درک بهتر جهان اطراف کمک می‌کنند، در حوزه ­های علمی همیشه خوب کار نمی‌کنند.

• برنامه درسی: معلمان در فرایند آموزش، فرم ساده­­ی موضوعات را تدریس ‌می‌کنند و دانش‌آموزان نمی‌توانند کاوش و توسعه منطقیِ کاملی از ایده یا نظریه مورد بحث داشته باشند.

۲-۱۲ نقش طرحواره‌ها در اشتباهات مفهومی

بارتلت^۱ (۱۹۳۲)، برای نخستین بار اصطلاح طرحواره را به کار گرفت تا توضیح دهد چرا افراد در درک و یادسپاری داستان ها تمایل دارند آن‌ ها را به گونه‌ای بازسازی کنند که با انتظاراتی که بر اساس دانش و تجربیات قبلی خود دارند، متناسب باشد (آیسنک، ۱۹۹۴).

طرحواره در واقع چارچوبی را فراهم می‌سازد که می‌توان اطلاعات را در آن ذخیره کرد و به هنگام بازیابی اطلاعات از آن برای هدایت فرایندهای جست و جو بهره گرفت (آیسنک، ۱۹۹۴). طرحواره‌ها سازه‌های شناختی‌ای هستند که امکان سامان‌دهی اطلاعات و دانش را در حافظه ی دراز مدت یادگیرنده فراهم می‌سازد و مبنایی را برای پیش‌بینی پیشرفت تحصیلی او به وجود می‌آورند. طرحواره‌ها در واقع هدایت کننده‌ عملیات پردازش اطلاعات فرد هستند (سیفرت، ۱۹۹۱).

رایلی و همکاران (۱۹۸۳)، معتقدهستند هر مسئله ریاضی به سه نوع دانش ریاضی نیازمند است که عبارتند از:

1. 1. طرحواره‌ی مسئله که از ساختار معنایی و محتوایی صورت مسئله استنباط و استخراج می شود.

1. 1. طرحواره‌ی اقدام برای حل مسئله که از مهارت‌ها و تجربه های ذخیره شده در حافظه نشأت می‌گیرد.

1. دانش راهبردی که برای برنامه‌ریزی و سامان‌دهی مراحل حل مسئله به کار می‌رود.

اشتباهات مفهومی یا بدفهمی‌ها، ناشی از عدم تمرکز، بی‌دقتی و امثال آن نیستند و ریشه در ساختارهای ذهنی یا طرحواره‌های ذهنی افراد دارند.

۱ Bartlet

۲-۱۳ مداخله طرحواره‌ی پیشین در یادگیری جدید

اویلر (۱۹۹۲)، معتقد است که دانش‌آموزان، به جای این که طرحواره‌های ذهنی خود را بازسازی کنند، عموما تمایل دارند که ایده های جدید را در طرحواره‌های موجود خود جذب کرده و با آن‌ ها منطبق سازند.

استیسی و مک گریگور (۲۰۰۲)، هم بیان کرده‌اند که اگر طرحواره‌ی موجود، بدون بسط یا بازسازی خویش، قادر به جذب ایده جدید نباشد، در ابتدا باید به دانش‌آموزان کمک کرد تا با بازتاب بر آن طرحواره، آن را که از مجموعه‌ مثال هایی که هم اکنون نقش بازدارنده دارند جدا ساخته و به طور مناسب، آن را جرح و تعدیل نمایند. بالاخره، باید گفت که طرحواره‌ای که از ابتدا آموخته شده و خوب توسعه یافته، در مقابل تغییر مقاوم است.

۲-۱۴ مداخله یادگیری جدید در طرحواره‌ی قبلی

در این حالت، دانش‌آموز با یادگیری مطالب جدید، دچار اشتباهات مفهومی و اشتباهاتی ‌در مورد مطالب گذشته می‌گردد که قبل از آن، آن‌ ها را نداشته است. پس در این حالت طرحواره ی جدید است که طرحواره‌ی پیشین را تحت تاثیر قرار می‌دهد (گویا، ۱۳۸۴).

۲-۱۵ بازخوانی یک طرحواره نامناسب

زمانی که دانش‌آموز در موقعیت حل مسئله قرار می‌گیرد، باید طرحواره‌هایی را در ذهن خود بازخوانی و فعال نماید تا با به‌کارگیری آن‌ ها به حل مسئله بپردازد. دانش‌آموزان مختلف برای حل مسئله واحد، ممکن است از طرحواره‌های متفاوتی استفاده کنند که در عین حال ممکن است همگی برای این منظور، درست باشند.

مثالی که اولیویر(۱۹۹۲) از برونر نقل می‌کند، به صراحت، نقش بازخوانی یک طرحواره‌ی نامناسب را در بروز اشتباهات مفهومی، بیان می‌کند: “وقتی کودکان اعداد را اشتباه جواب می‌دهند، اغلب به خاطر این نیست که آن ها اشتباه می‌کنند بلکه آن ها دارند سؤال دیگری را پاسخ می‌دهند، و کار معلم این است که بفهمد آن‌ ها در واقع دارند به چه سؤالی پاسخ می‌دهند.”

۲-۱۶ بیش تعمیمی به عنوان نتیجه‌ طبیعی گسترش طرحواره‌ها

(شونفیلد، ۱۹۸۵ ؛ نشر، ۱۹۸۷؛ اولیویر، ۱۹۹۲؛ بن زیو، ۱۹۹۶؛ و هاجی دمتریو و ویلیامز، ۲۰۰۰)، ریشه بسیاری از اشتباهات مفهومی دانش‌آموزان، “بیش تعمیمی” مفاهیم و قواعد ریاضی است. هاجی دمتریو و ویلیامز(۲۰۰۰) به نقل از ژانویر (۱۹۹۸)، ابراز می‌دارند که تمایل دانش‌آموزان در بیش تعمیمی، یک مانع معرفت شناسانه است؛ یعنی از بخش‌های “درستی” از دانش، به طور “نامناسب” استفاده می‌شود و به همین دلیل آن بخش‌ها به عنوان یک مانع عمیقاً در ذهن دانش‌آموزان ریشه دوانیده و مانع یادگیری آن‌ ها می‌شوند.

.

۲-۱۷ تشابه واژه ی مربوط به طرحواره‌ی ریاضی با واژه های عامیانه

بسیاری از تحقیقات نشان داده‌اند که تشابه واژه ی مربوط به یک مفهوم با واژه ی عامیانه متناظر با آن، می‌تواند ایجاد بدفهمی نماید(بلاسر،۱۹۸۷؛ فیش باین و بالتسان، ۱۹۹۹؛ گیلبرت،۲۰۰۳؛ علم الهدایی،۱۳۸۱).

۲-۱۸ تاثیر ساختارهای شهودی

شهود و عقل سلیم، عوامل مهمی در ریاضی و در آموزش و یادگیری آن به حساب می‌آیند و رشد و به کارگیری صحیح آن‌ ها، تاثیر مهمی در رشد و توسعه‌ تفکر ریاضی دانش‌آموزان، دارد (حسام،۱۳۸۳) . پولیا (۱۹۶۹) از قول کانت، نقل می‌کند که “تمام شناخت انسان، با شهود آغاز می‌شود، سپس به فهم و درک منجر شده و بالاخره به ایده ها ختم می‌شود”. فیش باین هم ( (۱۹۸۵) نقل شده در شنارک، ۱۹۹۹)، معتقد است که شهود، یک شناخت سریع است که به عنوان یک چیز بدیهی در ذهن ایجاد می‌شود با احساس اطمینان توام است و کلی، فی البداهه و استنتاجی است. به گفته ی وی، مثلاً ، این اصل که” کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه، خط راست و اصل آن‌هاست” به طور شهودی پذیرفته می‌شود.

در زمینه‌ی ارتباط شهود با طرحواره‌ها، شنارک (۱۹۹۹) اظهار می‌دارد که شهود نیز مانند طرحواره، یک “ساختار شناختی” است که توسط ثبات و پایداری از یک طرف، و انعطاف پذیری در تطبیق با موقیت‌ها از طرف دیگر، مشخص می‌شود. با این حال، یک تفاوت اساسی بین طرحواره و شهود وجود دارد که طرحواره‌ها، برنامه های تحلیلی تفسیری هستند، حال آن که شهودها، رویکردهایی کلی و سریع می‌باشند.

آن‌گونه که شنارک (۱۹۹۹) در تحقیق خود درباره‌ بدفهمی‌های ناشی از شهود احتمالاتی نتیجه گرفته است، برخی از طرحواره‌ها با گذر زمان، بر فعالیت‌های ذهنی افراد مسلط‌تر شده و موجب تاثیر در شهود آن‌ ها و در نتیجه، رشد و توسعه‌ آن می‌گردند. از این رو، اگر با طی زمان و آموزش بیشتر، یک طرحواره‌ی بهتر به کار برده شده و انسجام و تسلط آن بر فعالیت‌های ذهنی افزون گردد، می‌تواند باعث تقویت شهود و عقل وسلیم دانش آموز شده و از میزان اشتباهات مفهومی آن‌ ها بکاهد. برعکس، طرحواره‌های غیر کاربردی و دارای ساختارضعیف، به پرورش شهود فرد، کمکی نکرده و اشتباهات مفهومی شهودی را به دنبال دارند که ممکن است با افزایش سن، میزان آن ها نیز افزایش یابند.